PARA MIS ALUMNOS DE 804

Propiedades de los números Reales  (Continuación)

El conjunto de Números Irracionales: Hasta ahora, tenemos que todo número que se representa por una expansión decimal periódica (finita o infinita) es un número racional, pero cabe hacerse dos preguntas: ¿Existen expansiones decimales que no sean periódicas?, y si existen, ¿son números racionales?

La respuesta de la primera pregunta es afirmativa, como ejemplo, podemos construir el número: 0,1101001000100001000001000000.... Intenta construir alguno.

Los números que se pueden representar por expansiones decimales infinitas no periódicas reciben el nombre de números irracionales. A este conjunto se le denota por I.

Observación 1.1 Por la definición de número racional y la de número irracional se tiene que no existen números que sean racionales e irracionales a la vez, simbólicamente esto se indica de la siguiente manera: Q ∩ I = Ø.

El conjunto de Números Reales: Luego, la unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales, recibe el nombre de conjunto de los números reales y se denota con el símbolo R. simbólicamente escribimos: R = Q ∪ I.

1.2. Propiedades de los números reales.

Al combinar los números reales utilizando las operaciones de suma y multiplicación, utilizamos las siguientes propiedades:

Sobre el conjunto R  de los números reales tenemos definidas dos operaciones, la adición y la multiplicación que asignan a cada par   de números reales x,y su suma x+y   y su producto x*y   (que escribiremos abreviadamente como xy  de tal manera que se cumplen las siguientes propiedades básicas:

P.1  CLAUSURATIVA:  R es cerrado para la adición y la multiplicación. Es decir, si  x y y  son números reales, entonces x+y  y x*y son también números reales.

P.2  CONMUTATIVA: La adición y la multiplicación en  son conmutativas. Es decir, si  x y y  son números reales, entonces 

              x+y = y+x                              y                        x*y  = y*x

P.3  ASOCIATIVA: La adición y la multiplicación en R son asociativas. Es decir, si x,y y z  son números reales, entonces ( x+y) + z =  x+(y + z )  y  (x*y)*z = x*(y*z) 

P.4 DISTRIBUTIVA CON RESPECTO A LA ADICIÓN (SUMA): La multiplicación es distributiva, a izquierda y a derecha, con respecto a la adición en R  Es decir, si   x,y y  z  son números reales, entonces: x*(y+z) = x*y+x*z     y  ( x+y)*z= x*z + y*z   

P.5 PROPIEDAD DE IDENTIDAD O MODULATIVA (ELEMENTO NEUTRO)
La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado elemento neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el resultado de la suma: x+0 = 0+x = x  
El elemento neutro de la adición es el número CERO.
La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número  1  (llamado elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no cambia el resultado de la multiplicación: x*1 = 1*x= x
El elemento neutro de la multiplicación es el número UNO.
P.6 PROPIEDAD DEL INVERSO
La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO.  x+(-x) = (-x)+x = 0  
el inverso aditivo para esta suma es el número  
 La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser usado como factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO.        x*1/x = 1/x*x= 1

  

Nomenclatura Algebraica

La Nomenclatura es la manera en la que escribimos las expresiones algebraicas, este concepto nos ayudará más adelante a la hora de determinar cómo resolveremos un problema algebraico.

Expresión Algebraica

Es una combinación de letras, números y signos de operaciones. En álgebra elemental, una expresión puede contener números, variables y operaciones aritméticas. Por convención, éstos generalmente se escriben con los términos con exponente más altos a la izquierda. 

 Ejemplos:  a, 2x, a*(b + c), 2x+y, x²- 5x

Término. Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o - , así por ejemplo: 3a2, xy, -2abc², -xyz

Elementos de un término: Son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado, así por ejemplo:

En el caso de 3a² el signo es positivo (cuando un término no va precedido de ningún signo es positivo), el coeficiente es 3, la parte literal es a² y el grado es 2 (segundo grado).

En el caso de -ab²cᶟ el signo es negativo, el coeficiente es 1 (cuando un término no va precedido de ningún coeficiente, el coeficiente es la unidad), la parte literal es ab²cᶟ y el grado de primer grado con relación a la letra a porque el exponente de este factor es l, de segundo grado con relación a la letra b, y de tercer grado con relación a la letra c.

Nota: Para obtener el grado absoluto de un término se suma los exponentes de sus factores literales. En el caso de -2xy²zᶟ el grado absoluto de sexto grado porque la suma de los exponentes de sus factores es 1+2+3=6

Clases de términos

 Término entero: El que no tiene denominador literal, así por ejemplo 7xy²zᶟ.
 Término fraccionario: El que tiene denominador literal, así por ejemplo 3a/b 

 Término racional: El que no tiene radical, como los ejemplos anteriores

 Término irracional: El que tiene radical. Ejemplo  √xy

 Términos homogéneos: Los que tienen el mismo grado absoluto, así por ejemplo 2ab²c⁴ y 5x²y²zᶟ son homogéneos porque ambos son de séptimo grado absoluto

 Términos heterogéneos.  Los que no tienen el mismo grado absoluto

CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Monomio: Es una expresión algebraica que consta de un solo término, así por ejemplo: 7a

Binomio: Es una expresión algebraica que consta de dos términos, así por ejemplo: 3a² – 2a

Trinomio: Es una expresión algebraica que consta de tres términos, así por ejemplo: aᶟ + b - c²

Cuatrinomio: Es una expresión algebraica que consta de cuatro términos, así por ejemplo: xᶟ + 4x² + 2x +1

Nota: En general la expresión algebraica que consta de más de un término (binomio, trinomio, cuatrinomio,...) se llama Polinomio

El grado de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra

El grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado. Ejemplo: El polinomio a⁵ - 2a⁴ + a³ – 3a² + a es de quinto grado.

El grado con relación a una letra de un polinomio es el mayor exponente de dicha letra. Ejemplo: El polinomio a⁵ + a²b³ – a⁶b² es de sexto grado con relación a la letra a y de tercer grado con relación a la letra b.