DIVISIÓN ALGEBRAICA
La división algebraica es una operación inversa a la multiplicación a través de la cual a partir de dos cantidades llamadas dividendo y divisor se halla una tercera cantidad, llamada cociente.
La división cumple la propiedad distributiva con respecto a la suma y resta por la derecha así:
y la propiedad de cociente de potencias de igual base
División de Monomios
División de Polinomios por Monomios
Se divide cada uno de los términos del polinomio (dividendo) por el monomio (divisor)
Ejemplos Ilustrativos
Dividir:
1)
División entre Polinomios
Para
dividir un polinomio por otro polinomio, se sugiere el siguiente procedimiento:
-
Ordenar los polinomios en forma decreciente.
-Cuando
el polinomio dividendo no es completo se reemplazan los correspondientes
términos faltantes con variables que tengan coeficientes cero o se deja
los espacios, tanto en el dividendo como en el divisor.
-
Dividir el primer término del dividendo para el primer término del divisor.
-
Cuando los coeficientes del dividendo no son divisibles por los coeficientes
del divisor, los cocientes respectivos se escriben en forma fraccionaria
- El
primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del
divisor y el producto (con signos opuestos) se resta de los términos semejantes
del dividendo, obteniendo así el primer resto parcial.
- El
primer término del resto parcial se divide por el primer término del divisor y
se obtiene el segundo término del cociente.
-
El proceso se repite hasta que el residuo sea cero o de menor grado
que el divisor.
Ejemplos Ilustrativos. Dividir:
Cocientes notables
Objetivo: Comprenderás y aplicarás las reglas para obtener el cociente de
la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia
de las cantidades.
Como en el caso de los productos, existen algunas fracciones que tienen
una expresión algebraica específica y que, por su frecuente aparición en los
desarrollos algebraicos, es conveniente tener la habilidad de reconocer su
estructura y memorizar el resultado a fin de anotar directamente la solución
sin necesidad de efectuar la división.
Estas fracciones reciben el nombre de cocientes notables, debido
a que se resuelven mediante una división algebraica abreviada que se realiza
generalmente de manera visual.
Por supuesto que el resultado se puede obtener realizando la división
indicada. Sin embargo, memorizar y
aplicar directamente las reglas que dan la solución, incrementará
significativamente la eficiencia en la operatividad algebraica.
Las fracciones más sencillas entre los cocientes notables son:
La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la suma o diferencia de ellas
Si su cociente se obtiene realizando la división indicada en cada caso,
se tiene: 
Puesto que las divisiones son exactas, queda:
Estos resultados se pueden recordar con mayor facilidad si se expresan
con palabras:
Ø La diferencia
de los cuadrados de dos cantidades dividida por la suma de ellas es igual a la diferencia de las cantidades.
Ejemplo, para dividir:
Lo primero que debe hacerse es observar la estructura de la fracción: el
numerador es una diferencia de dos cantidades elevadas a potencias pares, 2 y
6, y el denominador es una suma. El siguiente paso será inspeccionar si el numerador es la diferencia de los cuadrados de las cantidades que aparecen en la suma del denominador. Como
Se cumple esta condición y se tiene un cociente notable en el que la diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la suma de ellas es igual a la diferencia de las cantidades
Para dividir:
siguiendo el mismo procedimiento. El numerador es una
diferencia de términos que tienen potencias pares y cada término de la suma del
denominador aparece en el numerador elevado al cuadrado puesto que:
Cociente de la suma o la diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades.
Objetivo: Memorizarás y aplicarás las reglas para obtener el cociente de la suma o la diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades.Además de los dos casos presentados anteriormente, existen otros cocientes que se pueden obtener directamente una vez que se han establecido los resultados generales que les corresponden. Aunque son varias las posibilidades de establecer estos cocientes notables, las reglas para determinarlos resultan ser, en la práctica, tan complicadas como efectuar la división en forma tradicional. Únicamente se presentan dos casos sencillos, que son los correspondientes a los cocientes:
Al dividir el numerador entre el denominador del
primer cociente se obtiene:
“La suma de los cubos de dos cantidades dividida por la suma de las
cantidades, es igual a la suma de los cuadrados de cada cantidad menos el
producto de ambas”.
Por otra parte, la división de la diferencia del cubo de dos cantidades
entre la diferencia de las mismas, da el siguiente resultado:
“La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la diferencia
de las cantidades, es igual a la suma de los cuadrados de cada cantidad más el
producto de ambas”
Ejemplos: 1.) Para obtener
el cociente de
Se puede observar que los
dos términos del numerador son los cubos de los términos que aparecen sumados
en el denominador puesto que y3 es el cubo
de y, mientras que 1 es el cubo de 1.
2.) Para
obtener el cociente de
Se observa que los términos del denominador x y 2x2 y los cubos de ellos son x3 y y (2x2)3 = 8x6
Entonces, el
cociente propuesto es igual a la suma de los cuadrados de las cantidades más el
producto de las cantidades:
3.) Para el cociente:
como en el segundo
término no hay una potencia 3 para suponer a priori que es una diferencia de
cubos, conviene hacer primero las operaciones indicadas en el numerador para
determinar si corresponde o no, a un cociente notable.
En el numerador existen términos semejantes y, al
reducirlos, se obtiene la siguiente expresión: 
Este
cociente es inmediato al tomar la regla de la diferencia de cubos de dos
cantidades entre la diferencia de las cantidades.
Taller Guiado
- 4x2y-
8x3y2+ 20x4y3
Recuerde que el factor común son los números y las letras que son
comunes o sea se repiten en todo la expresión.
- 12m2n
+ 24m3n2-36m4n3+ 48m3n4
= …….(……… +………… - ……… +………. )
- 4a3x
– 4a2b + 3bm – 3amx en
este ejercicio observa aparentemente que no hay factor común definido ¿Por qué?
Se deben agrupar los términos que tienen términos semejantes de dos en
dos para que salga el factor común un ejemplo: En 3xy +6xy3+ 5 +10y2
el factor común es 3xy en los dos primeros términos y queda factorizada así 3xy
• (1 +2y2) en los dos últimos
términos el factor común es 5 y queda factorizada así 5•(1 + 2y2) la factorización queda así: 3xy +6xy3+
5 +10y2 = 3xy•(1 +2y2)
+ 5•(1 + 2y2) = (1 +2y2) • (3xy+5).
Ejemplo, para dividir:
Lo primero que debe hacerse es observar la estructura de la fracción: el
numerador es una diferencia de dos cantidades elevadas a potencias pares, 2 y
6, y el denominador es una suma. El siguiente paso será inspeccionar si el numerador es la diferencia de los cuadrados de las cantidades que aparecen en la suma del denominador. Como
Se cumple esta condición y se tiene un cociente notable en el que la diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la suma de ellas es igual a la diferencia de las cantidades
Para dividir:
siguiendo el mismo procedimiento. El numerador es una
diferencia de términos que tienen potencias pares y cada término de la suma del
denominador aparece en el numerador elevado al cuadrado puesto que:
Cociente de la suma o la diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades.
Objetivo: Memorizarás y aplicarás las reglas para obtener el cociente de la suma o la diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades.Además de los dos casos presentados anteriormente, existen otros cocientes que se pueden obtener directamente una vez que se han establecido los resultados generales que les corresponden. Aunque son varias las posibilidades de establecer estos cocientes notables, las reglas para determinarlos resultan ser, en la práctica, tan complicadas como efectuar la división en forma tradicional. Únicamente se presentan dos casos sencillos, que son los correspondientes a los cocientes:
Al dividir el numerador entre el denominador del
primer cociente se obtiene:
Por otra parte, la división de la diferencia del cubo de dos cantidades entre la diferencia de las mismas, da el siguiente resultado:
“La suma de los cubos de dos cantidades dividida por la suma de las
cantidades, es igual a la suma de los cuadrados de cada cantidad menos el
producto de ambas”.
Por otra parte, la división de la diferencia del cubo de dos cantidades entre la diferencia de las mismas, da el siguiente resultado:
“La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la diferencia
de las cantidades, es igual a la suma de los cuadrados de cada cantidad más el
producto de ambas”
Ejemplos: 1.) Para obtener
el cociente de
Se puede observar que los
dos términos del numerador son los cubos de los términos que aparecen sumados
en el denominador puesto que y3 es el cubo
de y, mientras que 1 es el cubo de 1.
Una vez identificado el caso como un cociente notable, se aplica la
regla que dice que el resultado es igual a la suma de los cuadrados de las
cantidades menos el producto de ellas
Se observa que los términos del denominador x y 2x2 y los cubos de ellos son x3 y y (2x2)3 = 8x6
Entonces, el cociente propuesto es igual a la suma de los cuadrados de las cantidades más el producto de las cantidades:
3.) Para el cociente:
En el numerador existen términos semejantes y, al
reducirlos, se obtiene la siguiente expresión:
2.) Para
obtener el cociente de
Entonces, el cociente propuesto es igual a la suma de los cuadrados de las cantidades más el producto de las cantidades:
como en el segundo
término no hay una potencia 3 para suponer a priori que es una diferencia de
cubos, conviene hacer primero las operaciones indicadas en el numerador para
determinar si corresponde o no, a un cociente notable.
Este
cociente es inmediato al tomar la regla de la diferencia de cubos de dos
cantidades entre la diferencia de las cantidades.
Taller Guiado
Factorización
Halla el factor común en las siguientes
expresiones:
- 4x2y-
8x3y2+ 20x4y3
Recuerde que el factor común son los números y las letras que son
comunes o sea se repiten en todo la expresión.
¿Cuál es el factor común numérico en esta expresión o sea cuál es el
mayor número que divide a todas las cantidades de esta? Ejemplo entre 6, 18 y
15 el factor común es 3 porque es el mayor número que divide a todos.
Nota: El factor común puede estar entre ellos o se puede descomponer en
sus factores para hallarlo.
El factor común numérico es ________
¿Cuales letras son comunes o aparecen en todas partes de la expresión?
De las estas se escoge la de menor exponente.
Las letras que se repiten son:________ Luego el factor común literal
es:________ por tanto el factor común es:…………
Entonces la factorización de 4x2y-
8x3y2+ 20x4y3 = ………(……-………+……)
- 12m2n
+ 24m3n2-36m4n3+ 48m3n4
= …….(……… +………… - ……… +………. )
- 4a3x
– 4a2b + 3bm – 3amx en
este ejercicio observa aparentemente que no hay factor común definido ¿Por qué?
Se deben agrupar los términos que tienen términos semejantes de dos en
dos para que salga el factor común un ejemplo: En 3xy +6xy3+ 5 +10y2
el factor común es 3xy en los dos primeros términos y queda factorizada así 3xy
• (1 +2y2) en los dos últimos
términos el factor común es 5 y queda factorizada así 5•(1 + 2y2) la factorización queda así: 3xy +6xy3+
5 +10y2 = 3xy•(1 +2y2)
+ 5•(1 + 2y2) = (1 +2y2) • (3xy+5).
Entonces:
la factorización de 4a3x – 4a2b + 3bm –
3amx = (4a3x – 4a2b) – (3amx - 3bm) =…..(…..- ……) - ….(….
-…..) = (……. ……….)• (……..
…………)
